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等比数列の和の公式を復習する【めざせDCプランナー認定試験!】

DCプランナー

DCプランナーもそうですが、投資に関する分野には数学の公式がよく登場します。

高校数学で習う範囲の公式も多いですが、離れていると忘れてしまいますよね。

少しずつ復習してみましょう。

えー 数学とかの話はオリキャラさんが登場してからって言ってたのに……

いや、まあ、今日はブログに数式が書けるかのお試しのようなものです。

数列の公式の復習だけで終わらせますんで。

問題:初項が\(a\), 公比が \(r\)の等比数列があります。第1項から第\(n\)項までの和\(S_{n}\)はいくつでしょう。

\( S_{n} \) ??  \( a+ar+ \) … … えー忘れちゃったよー

 


答えは後ほど。

等比数列(等比級数)とは

1, 2, 4, 8, 16, ……

この数列は、出てくる数字が直前の数字の2倍になってますね。

1, 10, 100, 1000, 10000 , ……

この数列は、出てくる数字が直前の数字の10倍になってます。

このように、前の数字の何倍になっているかが一定になっている数列を、等比数列といいます。

また、第1項からずっと無限に続いた数列の和を、無限級数といいます。

第\(n\)項までの有限個の和の場合、単に級数と言ったりする場合もあります。

テキストでも「級数」という言葉の使い方は割と曖昧だったりします。

この等比数列の和ですが、投資・運用のジャンルでよく出てきます。

年間利率\(r\) %での複利運用を考えると、1年間で \(r\) %増えるわけですが、2年目では1年目で増えた金額に対してさらに \(r\) %増えるといった感じで、単純な足し算ではなく、等比級数的に増えていく計算になるためです。

等比数列の公式

初項が \(a\) , 公比が \(r\) の等比数列の第\(n\)項はいくつでしょう。

第\(n\)項を \( a_{n} \) と書きます。 \( a_{1} \) から順番に考えてみましょう。

初項が \(a\) と言っているのだから当然 \(a\) です。

$$a_{1}=a $$

公比が \(r\) なので、2番目は初項に \(r\) を掛けた値ですね。

$$ a_{2}=ar $$

2番目の項にさらに \(r\) を掛けると3番目の項になります。

$$ a_{3}=ar^{2} $$

このように、右辺の \(r\) の何乗になっているかの乗数は、左辺の項の数よりも1だけ少なくなります。

つまり、以下のようになります。

$$ a_{n}=ar^{n-1} $$

では、等比級数の和を求めてみましょう。

和は\(S\)を使って、\(S_{n}\)と表します。

つまり、以下のような定義になります。

$$ S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+… … +ar^{n-1} … … ① $$

両辺に\(r\)を掛けてみましょう。

$$ rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+… … +ar^{n-1}+ ar^{n} … … ② $$

①と②は、右辺の… … の部分が省略されていますが、よく見ると\(ar\)から\(ar^{n-1}\)の部分が共通です。

②から①を、左辺同士と右辺同士で引いてみましょう。

$$ rS_{n}-S_{n} =ar^{n}-a $$

これを変形すると、以下のようになります。ただし、\(r\neq 1\)とします。

$$ (r-1)S_{n} =a(r^{n}-1) $$

$$ S_{n} =\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$

これを和の記号\(\sum\)を使うと、次のようになります。

$$\sum_{k=1}^n a_k= \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$

和の記号で難しく見せかけてるだけなんじゃ… …

はい、すみません。

この記事は数式のツールの練習でした。ご容赦のほど。

まとめ

公比が\(r\)の等比級数の和の公式は以下のようになります。

$$S_{n} =\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$

ということで、このブログに数式を書くツールも入りました。

この調子でどんどん進んでいきましょう。

今日は以上となります。ここまでお読み下さいましてありがとうございました。

免責事項 この記事の内容は個人が勉強のために調査した内容を記載したものであり、正確性を保証するものではありません。当記事の内容によって生じた損害等の一切の責任を負いかねますので、ご了承ください。
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