DCプランナーもそうですが、投資に関する分野には数学の公式がよく登場します。
高校数学で習う範囲の公式も多いですが、離れていると忘れてしまいますよね。
少しずつ復習してみましょう。
えー 数学とかの話はオリキャラさんが登場してからって言ってたのに……
いや、まあ、今日はブログに数式が書けるかのお試しのようなものです。
数列の公式の復習だけで終わらせますんで。
問題：初項が\(a\), 公比が \(r\)の等比数列があります。第1項から第\(n\)項までの和\(S_{n}\)はいくつでしょう。
\( S_{n} \) ？？ \( a+ar+ \) … … えー忘れちゃったよー
答えは後ほど。
等比数列（等比級数）とは
1, 2, 4, 8, 16, ……
この数列は、出てくる数字が直前の数字の2倍になってますね。
1, 10, 100, 1000, 10000 , ……
この数列は、出てくる数字が直前の数字の10倍になってます。
このように、前の数字の何倍になっているかが一定になっている数列を、等比数列といいます。
また、第1項からずっと無限に続いた数列の和を、無限級数といいます。
第\(n\)項までの有限個の和の場合、単に級数と言ったりする場合もあります。
テキストでも「級数」という言葉の使い方は割と曖昧だったりします。
この等比数列の和ですが、投資・運用のジャンルでよく出てきます。
年間利率\(r\) %での複利運用を考えると、1年間で \(r\) %増えるわけですが、2年目では1年目で増えた金額に対してさらに \(r\) %増えるといった感じで、単純な足し算ではなく、等比級数的に増えていく計算になるためです。
等比数列の公式
初項が \(a\) , 公比が \(r\) の等比数列の第\(n\)項はいくつでしょう。
第\(n\)項を \( a_{n} \) と書きます。 \( a_{1} \) から順番に考えてみましょう。
初項が \(a\) と言っているのだから当然 \(a\) です。
$$a_{1}=a $$
公比が \(r\) なので、2番目は初項に \(r\) を掛けた値ですね。
$$ a_{2}=ar $$
2番目の項にさらに \(r\) を掛けると3番目の項になります。
$$ a_{3}=ar^{2} $$
このように、右辺の \(r\) の何乗になっているかの乗数は、左辺の項の数よりも1だけ少なくなります。
つまり、以下のようになります。
$$ a_{n}=ar^{n-1} $$
では、等比級数の和を求めてみましょう。
和は\(S\)を使って、\(S_{n}\)と表します。
つまり、以下のような定義になります。
$$ S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+… … +ar^{n-1} … … ① $$
両辺に\(r\)を掛けてみましょう。
$$ rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+… … +ar^{n-1}+ ar^{n} … … ② $$
①と②は、右辺の… … の部分が省略されていますが、よく見ると\(ar\)から\(ar^{n-1}\)の部分が共通です。
②から①を、左辺同士と右辺同士で引いてみましょう。
$$ rS_{n}-S_{n} =ar^{n}-a $$
これを変形すると、以下のようになります。ただし、\(r\neq 1\)とします。
$$ (r-1)S_{n} =a(r^{n}-1) $$
$$ S_{n} =\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$
これを和の記号\(\sum\)を使うと、次のようになります。
$$\sum_{k=1}^n a_k= \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$
和の記号で難しく見せかけてるだけなんじゃ… …
はい、すみません。
この記事は数式のツールの練習でした。ご容赦のほど。
まとめ
公比が\(r\)の等比級数の和の公式は以下のようになります。
$$S_{n} =\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} $$
ということで、このブログに数式を書くツールも入りました。
この調子でどんどん進んでいきましょう。
今日は以上となります。ここまでお読み下さいましてありがとうございました。
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